Kotlin クラス名を文字列として取得したい場合、例えば、MyClass クラスの名前を MyClass という文字列として取得したい場合は次のように記述します。

val name = MyClass::class.java.simpleName

Java の場合は (MyClass.simpleName) と記述できたので、それと比べると Kotlin は若干記述が冗長になります。 ただ、クラス名をそのまま文字列リテラルでハードコードすると、クラス名のリファクタリング時に修正し忘れたりするので、このようにクラス名を取得した方がよいケースはよくあります。

例えば、Android アプリのログ (Logcat) には、タグ情報としてクラス名を入れたりしますが（個人的にはアプリ名を入れるべきだと思いますが）、このタグは下記のように初期化することができます。

class Sample {
    companion object {
        private val TAG = Sample::class.java.simpleName
    }

    fun sayHello() {
        Log.i(TAG, "Hello")
    }
}