ここでは、jdeps と dex2jar を使って、APK ファイル内の依存関係を調査する方法を示します。
jdeps と dex2jar
JDK 8 にはパッケージ依存関係やクラス依存関係を調べるための jdeps コマンドが標準搭載されました。
これを使用すると、.class ファイル（あるいは .jar ファイル）を入力情報として、そこから参照しているクラスやパッケージの情報を調べることができるのですが、Android の APK としてビルドされたコードは .dex ファイルになっていますので、まずはこれを通常の .class 形式に変更してやる必要があります。
APK ファイル内の .dex を .class 形式に変換するには、dex2jar というツールを使用します。
上記から、たとえば dex-tools-2.1-20150601.060031-26.zip をダウンロードし、パスの通ったディレクトリに展開すればインストール完了です。
APK ファイルのパッケージ依存、クラス依存情報を調べる
まず、d2j-dex2jar コマンドを使用して、APK ファイル内の .dex を .class 形式に変換します。
APK ファイルを unzip して取り出した .dex ファイルを変換することもできますが、下記のように直接 APK ファイルを .jar に変換してしまうのが手っ取り早いです。
$ d2j-dex2jar app/build/outputs/apk/app-debug.apk -o app.jar
dex2jar app/build/outputs/apk/app-debug.apk -> app.jar
これで .class ファイルの含まれた .jar ファイルが生成されるので、晴れて jdeps コマンドで依存関係を調べられるようになります。
$ jdeps app.jar
...
com.example.myapp.function (app.jar)
-> android.content 見つかりません
-> android.content.pm 見つかりません
-> android.os 見つかりません
-> android.text 見つかりません
-> com.google.android.youtube.player app.jar
-> com.example.myapp.common.log app.jar
-> com.example.myapp.common.dialog app.jar
-> java.io
-> java.lang
-> java.lang.reflect
-> java.text
-> java.util
...
デフォルトでは上記のようにパッケージ間の依存関係が出力されますが、-verbose:class オプションを指定すれば、クラスレベルで依存関係を出力することができます（大量に出力されます）。
$ jdeps -verbose:class app.jar
...
com.example.myapp.function.LoggerService (app.jar)
-> android.app.Service 見つかりません
-> android.content.ContentResolver 見つかりません
-> android.content.Context 見つかりません
-> android.content.Intent 見つかりません
-> android.net.Uri 見つかりません
-> android.os.Handler 見つかりません
-> android.os.IBinder 見つかりません
-> com.example.myapp.common.log app.jar
-> com.example.myapp.common.text app.jar
...
ちなみに上記の出力の「見つかりません」というのは、依存先のクラスが格納されたライブラリが見つからないことを示しています。
下記のように、外部 .jar ファイルに対してクラスパスを通してやれば、依存している .jar ファイルの名前も出力されるようになります（下記では、libs_ext というディレクトリに Shared library としての .jar ファイルが格納されているとします）。
# Windows の場合
$ jdeps -cp libs_ext/*;%ANDROID_HOME%/platforms/android-23/* app.jar
# Linux の場合
$ jdeps -cp libs_ext/*:$ANDROID_HOME/platforms/android-23/* app.jar
Android や Java のコアライブラリが提供しているクラスへの依存情報は不要だという場合は、下記のように -f オプションで必要のない依存情報をフィルタすることができます。
$ jdeps -f "java.*|android.*|dalvik.*" app.jar
APK ファイルのメソッドレベルの依存関係を調べる
昔は Android の dexdeps というツールでメソッドレベルの依存関係を調べることができたのですが、このツールは multidex 構成の APK には対応していません（APK 内の１つの DEX ファイルしか解析対象にならない）。
Yasuenag さんの cfa というツールを使用すれば、.class ファイルを解析してメソッドレベルの依存関係を調べることができますので、こちらを利用するのがよいかもしれません。